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欧拉公式，复数域的成人礼
之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。
大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是
、
两个任意实数，外加虚数
，把它们结合在一起，就完成了：
但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：
复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：
我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。—- 约翰·伯努利
这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：
1 数域扩张的历史
来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：
1.1 自然数到整数
数学刚开始也是一片空白：
0 的出现就是数学的奇点：
根据皮亚诺定理（可以参考为什么 1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含 0？）：
很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：
添加负数之后，有一个问题就出现了：
我们知道
是对
的缩写，并且容易推出如下计算规则：
我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：
更一般的有：
并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：
1.2 整数到实数
很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：
来填满这些空隙（示意图）：
还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：
自然会有这么一个问题：
是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。
2 复数基础
往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。如果比较了解复数的运算法则了，可以跳到第三节去阅读。
2.1 复数的运算规则
复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
如果
、
，可以得到方程：
从图像上看，
与
有三个交点的：
套用通解会得到：
这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：
那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。
2.2 复数加法、减法的几何意义
为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量
有：
复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（
），纵坐标是虚轴（
），下图还把刚才的符号给标了出来：
加法的几何意义和向量也一样：
但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。
根据刚才的乘法规则，计算可得：
画出来发现，两者是正交的：
还可以从另外一个角度来理解这一点，
在复平面上是这样的：
那么，
乘以虚数
，就是：
对于一般的向量
，也符合这个规律：
好了，知道这些差不多了，开始正题。
3 复数域的扩张
好了，轮到复数域了，复数定义为：
那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：
这个问题可以用欧拉公式：
来回答，取
，可得：
画出来就是复平面上模长为 1，幅角也为 1 的点：
更一般的，欧拉公式说明，
是单位圆上幅角为
的点：
但是，欧拉公式
长这个样子！
3.1
的定义
欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。
实数域中的
函数，起码有三种定义方式：
- 极限的方式：
- 泰勒公式的方式：
- 导数的方式：
从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。
3.1.1 极限的方式
因为：
我们可以大胆地令
：
那么之前的
就等于：
我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为
对应的是单位圆上幅角为
的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为
：
然后取
，可以得到：
根据复数的乘法规则，可以看出：
取
：
取
，已经很接近单位圆上幅角为 1 的点了：
对于更一般的
也是同样的：
当
时，就很接近单位圆上幅角为
的点了：
可以证明当
时，
为单位圆上幅角为
的点，也就是得到了欧拉公式：
可能你还会问，直接替换
为
，合理吗：
这里是理解欧拉公式的
，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义
。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？
打个比方吧，在实数中“除以
”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：
欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。
3.1.2 泰勒公式的方式
实数域下，有这些泰勒公式：
也是直接替换
，令
有：
这也有漂亮的几何意义，看看
的前三项：
这是三个复数相加，加出来就是：
再增加第四项
：
随着
，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为
的点。对于更一般的
也是类似的螺旋：
3.1.3 导数的方式
实数域有；
直接套用：
假设
是时间，那么
是运动在复平面上的点的位移函数，
时位置为
：
的运动速度，也就是导数
。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于
（根据乘法规则，乘以
表示旋转
）：
并且不论
等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：
而速度的大小就是速度的模长
。之前说了，对于两个复数
，它们的模长为
，那么：
肯定等于 1 了，
在单位圆上运动，所以模长也为 1，所以速度的大小为：
速度大小为 1 意味着
时刻走了
长度的路程。而
在单位圆上运动，那么
时刻运动了
弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为
：
4 总结
有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：
其中：
个人觉得
只是复数的初始形态，而
才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：
那么有：
几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：
到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。
欧拉公式中，如果取
，就得到了欧拉恒等式：
这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的
、
、
、
、
，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。
最新版本（可能有后继更新）：欧拉公式，复数域的成人礼
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4.6692……：一个比圆周率更神秘的常数
米切尔·费根鲍姆（图片来源：Flickr）
40 多年前的洛斯阿拉莫斯国家实验室，一位助手对一类数列的研究引起了轰动，因为它涉及了大自然的核心的秘密：从这个数列中，可以发现大自然中一个基本的无量纲常数——4.6692……。这个常数像圆周率一样，充满了神秘的未知，也引领着科学的发展。
撰文 | 张华
国家实验室的“小助手”
米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944 年出生在美国费城。第二次世界大战结束后，费根鲍姆一家迁回纽约布鲁克林居住。他的父亲在纽约港务局工作，母亲在公立学校教书。
在少年时代，费根鲍姆对电气工程师产生了朦胧的兴趣，因为他了解到电气工程师可以研究收音机，而且收入很高。因此，高中时的他选择了纽约市立大学的电气工程专业。不过，他上了大学才明白，自己渴望了解的收音机知识“只不过是物理学的一小部分”。
所以，1964 年从纽约市立大学毕业后，费根鲍姆进入麻省理工学院攻读粒子物理学的博士学位。1970 年，费根鲍姆获得物理学的博士学位，但这时，费根鲍姆对物理学的兴趣也有所转移，他开始喜欢上了数学——严格来说，他希望用当时还比较罕见的计算机来算一些数字。在他之前，已经有一位叫洛伦兹的物理学家利用计算机做天气预报，计算机编程也开始成为科学研究的手段。洛伦兹首次在微分方程组中发现了“混沌现象”的代表——蝴蝶效应。
博士毕业后，费根鲍姆进入了康奈尔大学，但因为他很少发表论文，看起来物理研究做得很一般。1972 年，费根鲍姆来到弗吉尼亚理工学院，一边教书一边思考自己感兴趣的数学问题。这时的他有点“非主流”——当时粒子物理学家的“主流”工作是，面对加速器对撞机不断生成的粒子数据，研究标准模型、解释强相互作用与弱相互作用的本质。1974 年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手。
费根鲍姆只在洛斯阿拉莫斯实验室谋到一个助手的职位。虽然地位不高、工资也不高，但费根鲍姆可以用那里的计算机做科学计算。对他来说，这已经足够了。
利用计算机，他发现了数学物理中的一个很深邃的常数，相当于“发现了一个新的圆周率”，这一举奠定了自己在数学物理界的宗师地位。有人甚至预测，他可能因为这一贡献而获得诺贝尔奖。
抛物线映射
为了理解费根鲍姆的发现，我们需要从数列的周期说起。
最简单的周期性数列可以很任意，比如以下数列：
1，2，1，2，1，2 ……
当然，还有一些数列的周期性则要复杂的多，也要有趣得多。
比如费根鲍姆研究的数列：
也可以表现出周期性，而且随着参数 b 的不断增加，它表现出来的周期性会不断增加，会从二周期变成四周期，然后变成八周期……
这个数列在数学或者物理学上被叫做“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射”。
为了方便理解，我们假设这个数列的第一项是一个比 1 小的正数。前面已经说到，这个映射其实可以看成是一个抛物线映射，因为后一项与前一项的关系满足抛物线的方程。
所以，这里的关键问题是，常数 b 等于多少——b 的数值是任意的，但做数值计算时，必须首先设定这个参数。
费根鲍姆固定了不同的参数 b，利用计算机算这个数列的后续项。很容易看出，当常数 b 选择到一些特定的数字时，经过多次迭代，整个数列最后会收敛到一个“不动点”。即当 n 较大时，数列中的后续项变成了：
这相当于，这个不动点是抛物线方程的一个根。不动点其实就是“周期 1”（周期为 1）。
随后，费根鲍姆继续调整参数 b。
他发现，当 b 增大到 3 的时候，系统的不动点就消失了，而是出现了周期 2 分叉，最后稳定下来的情况是 xn 在两个值之间跳来跳去。
随后，费根鲍姆继续调整参数 b，让 b 继续增大。当 b 增加到了一定程度，周期会从 2 变成 4。继续增加 b，周期又会相继变为 8 与 16……这个现象叫做倍周期分叉。
费根鲍姆常数
如果只发现了这些现象，是无法构成一篇完美、具有历史价值的论文的。但是，费根鲍姆的伟大之处在于，他开始考虑当参数 b 满足什么条件时，会出现倍周期的分叉、这些分叉点的参数 b 又有什么特点。
终于，在 1978 年的《统计物理学》期刊上，费根鲍姆发表了他的重要发现。
在费根鲍姆的文章中，他用希腊字母δ来标记这个常数
在费根鲍姆的发现中，出现倍周期分叉的相邻参数 b 之间可以定义出一个差值（相当于距离）。比如 b1 就是开始出现 2 周期分叉时的参数值；b2 是开始出现 4 周期分叉时的参数值；而 b3 是开始出现 8 周期分叉时的参数值。
费根鲍姆的重要发现如下：出现倍周期分叉的 b 的那些数值，距离之比接近一个常数，这个常数大概等于 4.6692……。
费根鲍姆同时还研究了别的映射，比如三角函数相关的映射，也得到了同样的常数。于是，他强调，这个数是“普适的”（universal）。也就是说，这个数不但对抛物线映射成立，而且对其他很多类似的映射也成立。
这意味着，这个常数背后有一个巨大的秘密。后来有人用量子统计与量子场论中的重整化群对这个常数进行了研究，取得了更多的进展。这个常数看起来比圆周率更深邃，但它的几何意义到底是什么，一直没有人能说清楚。甚至连这个常数到底是不是一个无理数，至今也还没有答案。
但我们确定的是，费根鲍姆常数与混沌理论有着密切的联系。费根鲍姆常数在抛物线映射中发现的倍周期分叉，其实是另一种“混沌”的前奏（数列是一种离散动力系统，离散动力系统中也存在混沌）。
由于费根鲍姆的常数大于 1，也就是说倍周期分叉的“距离”之比是一个等比数列，而这个等比数列虽然有无限多项，但总和是有限的。在参数 b 小于 3.57 时，这种以 2 为周期开始的倍周期分叉已经结束了。而当参数 b 大于 3.57 时，开始出现周期 3 开始的倍周期分叉——而根据李天岩与约克的定理：“周期 3 的出现预示着混沌的出现”，这意味着在抛物线映射中，也是可以出现混沌的。
无论是洛伦兹发现的微分方程（连续动力系统）中的混沌，还是费根鲍姆发现的数列中的混沌，都标志着一项新的物理学革命。混沌现象都是用计算机意外发现的，这也是电脑帮助人们做科学研究的典范。