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张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具。同一个物理量可以由不同的向量 / 矩阵表示出来，这是由线性空间（通常是流形的切空间）的对称性决定的。

先发一个微信里看到的雷人数学题，这个其实对于理解张量分析很有帮助。

某同学为了证明钱缩水，做了一道题，把数学老师逼疯了！高级数学题：
求证：1 元=1 分
解：因为 1 元=100 分
=10 分×10 分
=1 角 ×1 角
=0.1 元×0.1 元
=0.01 元
=1 分
证明完毕。
数学老师哭了！
因为，毫无破绽。
稀里糊涂地钱就没了… 正如现在的社会！

其实破绽很明显——100 分并不是 10 分 *10 分，100 分是 10 分 *10，而 10 分 * 10 分是 100 分^2, 所以最后应该得到 0.01 元^2, 而 1 元^2 = 10000 分^2，所以 0.01 元^2 就是 100 分^2。（如果觉得元和分这些单位有点抽象的话，不妨把元和分换成米和厘米，用长度和面积来理解一下，我们显然不会说 1 米 = 100 厘米 = 100 平方厘米，前者是长度，后者是面积，根本不是一回事）

这里的核心问题是，100 分^2 和 100 分根本不是一个线性空间里的量，不能简单等同起来，要等同起来，必须选定一个同构。说具体点就是，如果

是一分钱生成的自由

– 模，也就是说，

是 “金额的实数轴”，这是一个

上的一维线性空间。则 100 分^2 所在的空间是

，

和

都是一维线性空间，所以可以选取一个同构把 1 分映到 1 分^2. 但是这个映射并不把 1 元映到 1 元^2, 而是把 1 元映到 0.01 元^2, (1 元 = 100 分

100 分^2 = 0.01 元^2) 所以反过来的时候，0.01 元^2 自然对应回了 1 元…… 所以并没有矛盾。

现在来解释开头那句话（张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具）。

1. 什么是数? 什么是量?

这是两千五六百年前希腊先贤讨论的问题之一（好像是 Miletus 的泰勒斯，欢迎指正）。最笨的解答是：量是有单位的，数没有。这个解答其实很有道理。1, 2, 3, 3.14, π, 这样的叫 “数”，5 米，五块钱，500 厘米，这样的叫量。数字上 5 ≠ 500, 但是 5 米和 500 厘米对应的物理量是一样的，这个物理量，就是 “空间中的某一段距离”，这个距离，即使对完全不理解人类语言的生物，也是实实在在的。而无量纲的数字，通常是一个物理量的比值，比如五公里里面的 5，是五公里对应的长度和公里这个单位长度的比值。

2. 如何描述速度这个物理量?

说 “速度” 是一个物理量，应该没人会反对。两个小学生，没有卷尺和秒表，也可以通过赛跑来比较自己的速度。观看赛马比赛的时候，不同马匹在同一时刻有不同的速度，这很容易察觉。但是日常生活中，通常速度被用一个数字表示，比如 72 km/h, 或者 20m/s. 熟悉这两个单位的人应该能看出，72 km/h 和 20m/s 是同一个物理量，他也可以用 72000m/h, 或者 65.6168 ft/s (英尺 / 秒)。如何不依赖于上面这些单位的选取，来描述 “速度” 这个概念呢？

有人可能会说，这个简单，距离这个概念，是个物理量，时间这个概念，也是个物理量，要抛开单位谈速度（也就是给出速度的一个内蕴的定义），只需要把它定义成距离的变化量 Δs 和时间差 Δt 的比值，在 Δt → 0 的时候的极限。也就是说，如大家熟悉的，

. 对这个公式，也许你会说，不就是求导么。新的问题来了，没有选取单位，

都不是一个 “函数”（换句话说，

并不把数值映射到数值，只是把物理量映射到物理量），如何 “求导” 呢。只好用一个格调稍微高点的说法，

是时间轴到空间轴的一个映射，这里时间轴和空间轴都是两个一维流形，未选取任何坐标系。而

其实是

的切空间到

的切空间的一个线性变换。一维线性空间之间的线性变换，只要选定了 “单位”，就可以用一个数字来表示，所以大家一般不这么说。但是，明确了速度这个物理量，其实是一个一维空间之间的线性变换这一点，其实对理解它的数值表示，很有帮助。比如 72 km/h 这个量，他的数值表示是 72. 如果把时间的单位换成 s (秒) —— 在时间轴的切空间上换了个坐标系 —— 而新旧坐标系之间的关系是，1h = 3600s，则新的数值表示，变成了 72/3600 = 0.02. 新的数值 0.02 表示同一个物理量，只不过单位是 km/s 而已。类似地，空间轴如果换个坐标系，比如把千米变成米，也会得到一个新的数值来表示同一个物理量，数值是 20，实际上是 20 m/s.

上述内容在一维的情形怎么说都像是抽象的废话。但是核心在于不同的数值可以表示同一个物理量。高维的情形就没那么平凡了。但是说穿了也很简单，不同的向量可以表示同一个物理量。一维的情形，不同的数值之间只差一个倍数，所以很平凡。高维的情形，不同的向量之间差的就是（切空间上的）线性变换，所以没有那么平凡。[这里还想话痨几句，但是有点跑题，参见末尾的 P.S.]

回头来看看三维空间中的 “速度” 这个概念，有助于加深理解。三维空间中的速度，也是一个物理量，选定了坐标系和单位，也可以用三个数字来表示。但是日常生活中我们基本不会说，我的速度是 (3, 5, 7). 因为没有简单的选取坐标系的办法。同样地，在物理上，经常遇到需要变换坐标系的情形（因为任何坐标系的选取都是人为的，没有哪个坐标系更好）。

比如（三维）流形

上的一个点，选定了局部坐标系，就对应于三个数，换个坐标系，就得到另外三个数，这之间只相差一个坐标变换。如果有映射

, 对应于 “运动”，就可以讨论 “速度” 这个概念。

处的速度是什么呢? 作为一个物理量，它当然不是三个数字，而是切空间的映射

, 这里

是有现成的坐标的（读者不妨想想是啥），所以

就由切空间

中的一个向量给出，到这里还是一个抽象的向量，只有选了坐标系，才变成三个数（坐标值），而这三个数，是依赖于坐标选取的。所以切空间里的一个向量（“速度”），要用三个数

表示的话，其实包含了很多额外的 data:

，后面这个

就是坐标的选取。换一组坐标（也就是替代掉

）的话，这三个数字也会跟着变，这就是最基本的张量分析了。

3. 更复杂的物理量怎么表示?

有些物理量，并不简单地生活在切空间中，而是切空间上的线性变换，或者二次型（比如转动惯量，比如动能），或者落在切空间的对偶空间中，这种时候就考验线性代数的水平了。不用坐标系理解一个概念的能力越强，越容易理解张量。

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P.S. 上面说到不同的向量可以表示同一个物理量。更复杂的情形，就是高阶张量，比如切空间上的二次型，抽象地看是二次型，具体写出来是对称矩阵，变换起来用

之类的操作。之所以用这些变换了操作，也是因为不同的对称矩阵可以表示同一个物理量。

个人感受：很多时候一些人之所以不能理解张量，就是因为脑子里默默地做了一些等同 (identification), 比如把线性变换和矩阵当做同一个东西，而没有理解抽象的线性变换的概念。实际上不在 source 和 target 中选取一组基的话，一个抽象的线性变换是没有矩阵的。同理很多人不能理解没有选取坐标的一维流形，一想象脑子里就是数轴或者单位圆。忘掉坐标，想象一个抽象的 underlying manifold, 也是一种能力。

聊一些让人恐惧的系外行星

1 – 科洛 7b

直径：稍大于 1.5 个地球

公转周期：0.9 个地球日

暴虐极端的世界，两种地狱的归一

这颗行星的日出如图，它和其恒星的距离是地球和太阳距离的 1/60。也就是说，在其表面看到的“太阳”是地球上看到的太阳的近 2500 倍大。向阳面温度可达 2600 度，足以气化岩石。背阳面岩石蒸汽凝华后会降下“石雨”。理论模型预测该行星表面有岩浆组成的海洋。因为潮汐锁定，行星同一面永远面对恒星，另一侧温度则可以低至零下 230 度，可以说是冰与火的地狱。

2009 年该行星被发现时，人们认为它是第一颗被发现的类地系外行星。当然，我们现在将其划归为不可居住，并认为其有生命存在的几率接近于零。它之前可能是一颗地球大小 100 倍的气态巨行星，在逐渐靠近恒星的过程中，它表面的大气层逐渐被剥离，只剩下了岩石组成的内核。

2 – 格利泽 436b

直径：接近海王星

公转周期：2.6 地球日

人类所知行星中最特异的矛盾体

格利泽 436b 距离地球 30 光年，和其恒星距离只有 420 万公里（相较之下，水星距太阳 5800 万公里）。其表面温度为 440 度，远超水的沸点。但这颗行星妙就妙在它表面的水依然处于固体状态。换句话说，格利泽 436b 是一颗由燃烧之冰组成的行星。当然，这里的冰和地球上不同，处于一种叫做冰七的特殊状态，密度更高，结构更接近于晶体。科学家认为这种冰是由于行星内核巨大的引力生成的。

该行星的矛盾特质还不止如此。它表面有氢和氦组成的外层，因此理应含有大量的甲烷，但科学家探测发现其表面的甲烷含量是预测值的不到 7000 分之一。相反，格利泽 436b 上具有大量的一氧化碳，可能是行星高温内核释放出来的。

3 – 巨蟹座 55e

直径：大约地球的 2 倍

公转周期：0.7 个地球日

晨昏圈里什么怪事都有可能，但都比不上詹森

别名詹森的巨蟹座 55e 距离地球 40 光年，它最有名的特质莫过于其 1/3 的成分是钻石。它的大气大部分是碳元素，恒星和行星内核施加的高压将整个星体压缩成钻石。如果按现在的钻石市价计算该行星总价值为

美元。

和科洛 7b 类似，詹森因为潮汐锁定，一面永远朝着恒星，另一面处于永恒的黑暗中。它距离恒星过近，在其表面水无法保持液态，而是处于一种液气两态之间的超临界状态。人类不管是在 2200 度的向阳面还是黑暗的“晨昏圈”内都无法生存。此外，哈勃望远镜还发现该行星表面下正在逐渐释放出氰化氢，产生高热剧毒的流体。

4 – WASP-12b

直径：木星的 1.8 倍

公转周期：1.1 地球日

黑暗末日世界

WASP-12b 因为恒星的引力被拉长成极度罕见的形状。据估计这颗行星寿命只剩下 1 千万年，它正在被其母星逐渐瓦解，平均每年会丧失

吨的物质。

科学家在发现 WASP-12b 之前从没想过会找到这样漆黑的系外行星。这颗行星有一种独特的能力，会吸收，而不是反射照射在其上的光，吸收率高达 94%。科学家称其“像柏油那么黑”。

5 – TRAPPIST-1b

直径：和地球差不多

公转周期：1.5 地球日

六个血红的月亮之光

这个星系有七颗行星围绕着红色恒星公转。在 TRAPPIST-1b 的背阳面看上去天上有时会出现六个深红色的“月亮”。当然，这六个天体实际上是行星，其中有三个处于该星系的可居住区。TRAPPIST-1b 本身炙热（约 1200 度）。据估计，这七颗行星的总含水量是地球的 250 倍。该星系的行星可能有 5%是由水组成的，而地球的含水量只有 0.02%。至少有两颗行星表面有液态水，而 TRAPPIST-1b 表面的水应该处于蒸汽状态。

题主这个问题与接地系统密切相关，与什么是“带电”也密切相关。为此，我们首先把接地系统和“带电”弄清楚。

我在知乎上写了大量有关接地系统的帖子和文章，以下是其中一篇，供参考。

什么是接地？接地的原理是什么？ – Patrick Zhang 的回答 – 知乎

什么是接地？接地的原理是什么？

知道了接地系统，我们就明白，原来火线是 TN-C 接地系统中的相线 L1L2 或者 L3，而零线是 TN-C 接地系统中的保护中性线 PEN。

特别要提醒的是：TN-C 接地系统当下并不多见，因此零线也十分罕见。题主所谓的零线，更大的可能性是 TN-S 和 TN-C-S 接地系统中的中性线 N 罢了。

“带电”这个词汇，应用十分广泛。我们往光电鼠标中加入 1.5V 的干电池，并打开开关投入使用，我们说鼠标内部电路已经带电。同理，我们把笔记本电脑的电源线插入插座，把 220V 的电压加载到笔记本的电源模块中，我们说这电源模块也已经带电。

可见，不管是 1.5V 直流电压还是 220V 交流电压，只要线路中通了电，我们就说线路带电。

题主所谓的带电，应当是指零线中出现了能够点燃测电笔的电压，这个电压范围是 60V 到 500V 之间。

我们定义：带电是指线路中出现了高于 50V 的电压。

50V 电击安全电压是 GB16895 这部关于接地的系列国家标准中规定的。注意与 36V 安全供电电压不要混淆，36V 安全供电电压是国家标准 GB/T 156-2011 规定的，它与 50V 电压毫无共同之处。

有了上述这些铺垫，我们就开始讨论。

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（1）我们先来看 TN-C 接地系统

图 1 中变压器 T 的低压侧绕组中性线直接接地，然后以 PEN 的形式引出，它就是零线。

需要注意的是：接地极是有电阻的，在 GB50054《低压配电设计规范》中规定了接地极电阻不得超过 4 欧，并说明实际电阻为 0.8 欧左右。

当图 1 中的 C 相火线接地后，由于零线是多点接地的，于是火线的电压就通过地网加载到最近的零线接地点处，使得零线带电。我们用电笔测量此时的零线，会发现电笔微微发红。

需要指出的是，零线带电的电压与零线重复接地的距离有关。如果距离很近，而且零线的重复接地措施良好，则零线所带电压很低，甚至测量不出来。可见，零线的重复接地何等重要。

在 TN-C 接地系统中，用电负载的金属外壳往往直接接零线，以实现人身安全防护，我们把它叫做保护接零。

对于零线来说，如果它断裂，则断裂点后部的零线电压由于三相不平衡的原因会升高，最高可以达到 220V 相电压，超过 50V 安全电压。在这种情况下，由于保护接零的原因，零线断裂对人体伤害和安全用电构成极大的威胁，其危害远超火线接地带来的影响。因此，TN-C 接地系统中的零线绝不能断裂，也不能送入开关造成人为断点。

这就是 TN-C 接地系统目前十分罕见的原因。国家标准规定，在油库、港口、仓库和煤矿，严禁使用 TN-C 接地系统。办公室和居家配电，一般是 TN-C-S 接地系统，其中用电末端并没有零线，也因此零线是十分罕见的。

可见，题主在这里存在认识误区。

当火线对地短路后，短路电流近似等于火线对零线的短路电流，因此 TN-C 系统中的开关会执行过电流保护操作，迅速切断故障线路，实现线路保护。

（2）我们再来看看 TN-S 接地系统

图 2 中，变压器的中性点接地后分开为中性线 N 和地线 PE，和三条相线一起引入到供用电的末端。由于它有五条线，在我国它的俗称叫做三相五线制。虽然这个线制称呼是错误的，考虑到它和零线这个称呼一样，有广泛的使用基础，此处就违心地引用一下吧。

其实，三相五线制是不存在的。所有 TN 接地系统包括 TN-C、TN-C-S 和 TN-S 都是三相四线制。因为 GB16895 中规定，所谓的线指的是在正常运行条件下有电流流过的线路。地线在正常运行条件下是没有电流的，所以地线不是“线”。

图 2 中，我们看到右侧相线 L3 对地 PE 短路，我们把它叫做单相接地故障。那么中性线 N（注意，这里没有零线的任何影子）是否会带电？同样要看距离，以及地线重复接地点的设置。一般来说，中性线因为单相接地故障的原因而“带电”的可能性不大。

当中性线 N 因为单相接地故障而发生漏电现象时，系统中的漏电保护开关会迅速执行线路保护，所以，中性线 N“带电”的时间是十分短暂的。

（3）TN-C-S 接地系统

图 3 是我们运用最多的接地系统。事实上，在办公室，在学校，在我们家，绝大多数的配电系统都是它。

我们看到，在户外零线 PEN 重复接地，然后分开为中性线 N 和地线 PE，随同相线 L 一同入户。在户内，用电设备的外壳接 PE。注意到户内配电箱的主开关 QF1 是两极的（2P，P 是英文 POLE（极）的首字母），可见中性线 N 可以断开，也毫不影响供用电。

当图 3 的左下方发生单相接地故障（漏电）时，户内的地线 PE 会带电。由于户外地线和中性线是连接在一起的，又因为有接地极电阻存在，并且单相故障发生点距离户外重复接地点的距离较远，则中性线电压会上升，也即题主所谓的“带电”。一旦发生了漏电，系统的漏电保护器和开关自身都会迅速执行开断保护，所以中性线“带电”也是十分短暂的。

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至此，我已经解释了 TN 系统下的“零线带电”情况，限于篇幅，TT 接地系统和 IT 接地系统就不再讲解了。

最后，给题主提个问题：

我们已经知道零线的电压接近于零，可是零线中的电流却很大，对于单相系统，零线与火线中的电流基本相同。如此说来，零线的电流不符合欧姆定律。那么零线的电压遵循的是何种电路定律？

这个问题很重要。理解了它，我们才能知道零线的实质是什么。