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你大可放一百个心，太热的会想出来凉快一下，太冷的也会想进去暖和一下

这些企鹅在超冷天抱团取暖，幼崽被成年企鹅层层包围，在飘扬的大雪下组成一幅奇特的画面，就像精心设计拼图，看乱了眼。

在《人与自然》的纪录片中曾经有报道过，上百万的企鹅在南极的寒风中挤成一团，以孵化企鹅蛋。这些挤在一起的企鹅大概 30 到 60 秒变换一次队形，以保证每个企鹅都能有机会在整个抱团温暖的中心。企鹅们抱团取暖的秘诀在于，保持正确的队形，如果企鹅们站得太松，就不足以保持足够的热量。但是如果他们挤得过紧，则不能有效变换队形，边缘的企鹅可能得不到足够的热量。

企鹅们每一分钟大约移动 10 到 20 厘米步，这种频率可以很好的保持队形的松紧适中，时刻变换队形也能让企鹅轮换出现在抱团最温暖的中心，企鹅们从一头进入，到达中心，再从另一头出去。这种缓慢的执行还让许多企鹅的小群体能够组成一个大的抱团。

帝企鹅是最典型的扎堆取暖群体，因为其他企鹅很少需要以这样无奈的方式直面南极暴虐的极夜——它们可能是迁徙到非洲、南美，或者暂时躲避在南极外围的浮冰和岛屿上。可帝企鹅除外，它们常年生活在南极大陆，可怕的是他们会选择在气候最为恶劣的时候交配生宝宝！

这个问题本来是一个挺好的科学问题，可是在知乎上往往被一些“民科”引导到反科学的方向上去了。下面我认真、努力地用科学理论来说明一下何为“不能超光速”，以及“宇宙超光速膨胀”的事。

一、相对论中的不能超光速究竟是什么意思？1、速度到底是个啥？

我们中学所学的知识一般会告诉我们“速度是位置随时间的变化率”，或者说是“速度 = 位置的变化量除以变化所需的时间”，到了高中无非增加了速度除了大小还有方向这样的知识，明确了速度是矢量。

这种定义由于是 18 岁之前就教给每个孩子的，所以如今的绝大部分人对速度的认知都是如上所述的。在日常生活中，这样认识速度这个概念没有任何问题，也不会引发歧义或者矛盾。但是这个认知毕竟是基于“绝对时空观”的，偏偏我们真实的物理世界的时间和空间都不是绝对的，所以一旦把它应用到高速、强引力场、宇观尺度的时候，就会出现问题。

Common sense is the collection of prejudices acquired by age eighteen.
—— Albert Einstein
常识就是 18 岁前所积累的各种偏见。
—— 阿尔伯特 . 爱因斯坦

既然速度与时间和空间有关，那么对速度有更准确认知的前提必然是对时间和空间有着更准确的认知。我们认识到的“绝对时间”和“绝对空间”来源于对日常生活的观察。在日常生活中，我们从未发现两个不同的人或物体的时间流逝快慢不同，也从未发现处于不同运动状态的人在不同时间、不同位置测量同一个物体的尺度会有什么变化，从而我们人类天然的认定“时间”和“空间”都是绝对的，不因观察者的不同而不同。

可是，日常生活的观察结论未必总是可靠的。正如“古人通过日常观察看到了太阳的东升西落，从而认定太阳是围绕着大地转动的”，“古人在日常耕种等生活劳作中发现地面是如此平坦，从而认定大地是平的”一样，我们基于日常观察形成的对时间和空间绝对性的认知也是不可靠的。

在相对论（特别是广义相对论）建立并得到大量实验观测证实之后，人们已经认识到，

（1）时间和空间的相对性：每个“观察者”或称为“质点”（有质量且可忽略其大小的物体）都有自己的时间和空间，不同质点所认知的时间和空间是不同的；

（2）时间和空间的局域性：即使是同一个观察者或质点，在其世界线（四维时空中的质点是一条线）不同位置处所认知的时间和空间也是不可比较的；

（3）全局性的时间和空间：在某些特定的四维时空中（如在宇观尺度下的我们的全宇宙），我们可以选择出一组有相同类时积分曲线参数的观察者（这就是相对论中的参考系，也是一组类时世界线的集合），使得全部四维时空中的任意一个时空点处都有且只有一个这样的观察者；此时我们可以基于这组观察者定义出在这个四维时空中的全局性的时间和空间。需要特别说明的是，并不是每种四维时空都具备这样的条件，从而有些四维时空是无法定义全局性的时间和空间的。

关于时间、空间是人为定义的，以及四维时空是绝对的这件事，我以前写过一篇简短的回答，列在下面供参考。

想请问一下各位大佬，按照爱因斯坦的设想，四维时空是绝对的吗？如果是的话，为什么？

（4）正是由于时间和空间的相对性与局域性，所以我们一般性地谈及某个质点的速度的时候，相对性要求我们必须首先明确观察者（可以看作另一个质点），局域性要求该观察者应该是“当时当地”的观察者。换句话说，观察者的世界线必须与被观察质点的世界线相交，且只有在交点处观察者才能直接观察到被观察质点的即时速度。这个即时速度才是抛弃了绝对时间和绝对空间之后我们能够定义的、有意义的速度的概念。

回过头来再看下我们中学学物理时说到的“速度是相对于某个参照物的”、“速度是在某个参照系下的”等表述，其实就是上面广义相对论中提到的“能够定义全局时间与全局空间”的特定情形。这个特定情形就是平直的四维时空（也叫做闵可夫斯基时空），如 图 1 所示。

图 1 中的蓝色线条就是前面所说的被选择出来的一组观察者的世界线，由于时空是平直的闵可夫斯基时空，所以这些观察者其实都是“静止”的观察者，它们都具有相同的时间参数，他们的空间坐标都不随时间发生变化。所说的“在这个参考系下的某个时刻被观察质点的速度”指的就是那个特定时刻的时间坐标下与被观察质点世界线相交的那个观察者所看到的质点的速度。

之所以我们日常生活中把空间和时间看作是绝对的，就是因为我们近似生活在平直的闵可夫斯基四维时空中，而且日常运动速度相对光速来说很小，从而无法感知到时间与空间的相对性。

因为日常生活的时空是近似平直的，所以那些竖直的蓝色世界线才能够存在且具有相同的时间坐标参数。如果是弯曲的时空（我们可以假想一个球面二维时空），那么是不一定存在这样一组互不相交且具有相同积分参数的曲线作为世界线的。

又因为我们日常运动速度远小于光速，所以即使是在高速列车上的人，其世界线和静止在地面上的人的世界线在 图 1 中的差异也不大。这是由于 图 1 中时间轴的单位如果是秒，那么空间轴的单位就是“光秒”（

米），所以一个以 100m/s 的速度高速运动的观察者的世界线和静止观察者的世界线几乎没什么差异。

2、相对论下质点即时速度的计算

按照前面说的，观察者的世界线和被观察质点的世界线相交，且必须在交点处我们才能定义观察者看到的被观察质点的速度。那么这种相对论时空观下的速度是如何计算的呢？这要涉及到广义相对论和弯曲时空的知识，需要有基础的微分几何知识背景，我在这里不可能像教科书一样去讲解。不过，可以在尽量避免严格数学推演的基础上通俗地介绍些核心物理理念。

图 2 表示在一个足够小的局域四维时空中，两条相交的质点的世界线。

（1）固有时

固有时这个物理概念是相对论的一个超级基本的概念，准确理解固有时是学懂相对论的众多基础条件之一。不过这个物理概念并不那么难以理解。

我们知道，把一个质点当作观察者来观察其自身的时候，肯定认为自己是不动的。经典时空观下的三维空间中，如果一个质点不动，那么它就是三维空间中的一个点而已；而在相对论的四维时空中，一个不动的质点由于时间的流逝也会形成一条线（质点的世界线），四维时空中的一个点仅能够代表一个时刻。既然任意质点观察自己的时候都认为自己不动，那么自己这条世界线就只能是由于时间流逝而形成的，或者说，在自己看来，自己的世界线上任意一小段都代表着自己所认知的时间的流逝。再定量一点，就是说，自己世界线的长度代表着自己所认知的时间，相对论中将这个时间称为固有时，它在数学上就是质点世界线的长度（线长）。

（2）观察者所认知到的局域范围内的空间

在局域的（数学上无限小的）范围内来看，观察者世界线无限小的一段可以看成一条直线段。用这个无限小的直线段沿运动方向对应的矢量去除以观察者自己认为自己在这个过程中所经历的时间，得到的新矢量就是观察者世界线在这一点处的切矢量。前面介绍固有时的时候说了，由于观察者自己觉得自己经历的时间就是这段无限小世界线的长度，所以得到的切矢量方向就是世界线切线沿运动的方向，大小就是 1 （自然单位制下是 1 ，国际单位制下可以认为是光速 c ，以下都采用自然单位制）。这个切矢量就是 图 2 中的

，在相对论中这个矢量被称为观察者（质点）的四维速度（简称 4 速）。

由于观察者认为自己是不动的，自己的世界线完全是由于时间的流逝而形成的，从而这个切矢量

的方向就可以认为是在这个局域范围内观察者所认知到的时间的方向，从而与这个切矢量正交的其它矢量都成为了这个观察者在这个局域范围内所认知到的空间矢量。这些空间矢量的集合构成了这个观察者在这个局域范围内的空间。

可能不熟悉相对论的朋友觉得上述文字太罗嗦，但是在相对论中，由于不存在绝对的时间和绝对的空间，从而只要提到时间和空间，必须表述准确，啰嗦是没办法的。

（3）明确了观察者的时间与空间，才能够谈及被观察质点的即时速度

显然，被观察质点的世界线在交点 P 处也会有一个切矢量

。如 图 2 ，将

沿着观察者的时间方向（

的方向）和空间方向（与

正交的方向）做分解，得到两个分矢量

和

。如前所述，这两个分矢量的大小就是被观察质点世界线在观察者的时间和观察者的空间方向上的长度随被观察质点固有时的变化率【这句话虽然罗嗦，但很重要，务必读准确】。

而所说的即时速度，指的是被观察质点世界线在观察者空间方向上的长度随观察者固有时的变化率。由于观察者的固有时和被观察质点的固有时是不同的，图 2 中标明了前者是 t ，后者用希腊字母

表示，所以

还要再乘以

得到的才是被观察质点在观察者看来的即时速度。

当然，在一般的非平直的四维时空中，正交不再是简单的夹角为 90 度，距离也不再服从勾股定理，所以具体来计算投影分量、计算变化率的时候需要微分几何的知识了。所以下面只说结论。

在度规场为

的四维时空中，投影张量

，此张量能够将 P 点的任意四维时空矢量投影到观察者

的空间中去。于是

。而

，从而在观察者

看来，P 点世界线切矢为

的质点的即时速度（设为

，相对论中称为三维速度，简称 3 速）是

利用度规可以计算这个即时速度的大小，并经过简单的张量计算得到

由于

是以线长（固有时）为参数的质点世界线的切矢，所以

。从而，

。注意到自然单位制下的光速为 1 ，也就是说，任何质点在被任何观察者观察的时候，得到的即时速度的大小都小于光速。

当

是光子世界线的切矢时，由于光子世界线的线长恒为 0 （这就是广义相对论下最准确的光速不变原理的表述），从而

，于是

。也就是任何观察者看到的光子的即时速度永远都是光速 1 ，哪怕是在弯曲的四维时空之中也是这样。

3、相对论要求“不能超光速”的分析

有了前面的基本认知，我们才能说清楚相对论中的“不能超光速”的具体含义 —— 有质量的粒子（质点）在任何当时当地观察者看来，其速度的大小不会达到或超过真空中的光速。

仅从这个含义就可以大致看出来，这与“宇宙超光速膨胀”似乎不是一回事。后面我们会详细说“宇宙超光速膨胀”到底是什么意思，现在我们先把相对论要求的“不能超光速”的含义细化解释清楚。

（1）“不能超光速”限定的主体是有质量的物质，所以那些“非物质”的超光速（如相速度超光速之类的）并不稀奇。

例如 图 3 所示的情况下，两根杆的交点运动速度肯定可以超光速，但这个速度不是任何有质量物质的速度，所以不违反相对论。

【BTW：有的朋友可能很有创造性思维，会想到利用 图 2 的方法是否可以超光速传递信息？事实上，我们说信息的传递速度不能超光速，是因为任何信息必须附着于某个物体或者某份能量之上的，由于这种物体或能量不能超光速，所以信息传递的速度至多是光速。

一旦想利用 图 3 的方法传递信息时，就必须要考虑到杆并不是刚体（相对论中不存在刚体），当信息发送方在自己一侧向上推动硬杆的时候，杆的其余部分不会立即同步移动的，只要杆的内部作用力传播速度不能超光速，那么利用杆的交点所传递信息的速度就也不能超光速。

至于图 3 中的即时速度超光速，严格地说需要对杆的交点左右各部分同时施加力的作用使得杆的各部分都以速度 v 向上运动才能实现。既然都在交点左侧施加力了，说明信息已经先传递过去了，再利用交点传递信息已经没必要了。】

（2）“不能超光速”指的是当时当地观察者观察到的质点的速度，而不是以其它方式定义的具有速度量纲的物理量。

为什么前面我们不厌其烦花了很多篇幅描述了相对论中速度的定义呢？就是因为并不是随便找一个具有长度量纲的物理量和一个具有时间量纲的物理量相除得到的都是相对论中所说的速度。相对论中的速度，不能超过光速的这个速度，是前面花费了很多笔墨所定义的那个速度。如果你想自己定义出一个具有速度量纲的物理量并让其超光速，那很容易。

比如，在施瓦西黑洞内部坠落的质点，定义某个物理量为该质点径向坐标对该质点固有时的导数（选取很短的一小段过程，让这段过程两端的径向坐标之差除以这段过程的固有时），那么这个物理量就会超光速。详见我以前写过的一篇文章

现实物理世界的“芝诺悖论”——被黑洞所扭曲的时空

这样定义的所谓“速度”其实也不是没有意义，这个“速度”是径向坐标差与固有时的商。例如某施瓦西黑洞视界半径如果是 1 光天，那么你身上带块时钟，坠入黑洞后你会发现还没到一天时间你就落进奇点了。但如果你因此说你坠入黑洞后能超光速，违反了相对论，那显然是不正确的。事实上，在黑洞內部任何一个和你相遇的观察者（如果有）测量得到你的速度都是低于光速的。

（3）“不能超光速”的光速指的是真空中的光速，所以那些超过了某种介质中光速的情形并不违反相对论，也不令人意外。事实上现在的物理实验已经可以做到让某些粒子超过介质中的光速（如核反应堆中辐射的电子超过水中的光速），并能够因此导致切伦科夫辐射。

二、宇宙膨胀“超光速”究竟是什么意思？

铺垫了这么多，终于可以说说宇宙膨胀为什么“超光速”了。其实，这就是前面所说的情况（2），人们定义了另外一种“速度”，并发现这个“速度”超过了光速。

1、宇宙膨胀速度的含义

前面第一部分说了，一般来讲，不是所有的四维时空都能够定义全局性的时间与空间。但是很幸运的是，在承认“宇宙学原理”的基础上，我们的整个宇宙恰巧就是一个可以定义全局性时间与空间的四维时空。

“宇宙学原理”的内容只有一句话：每一时刻的宇宙空间在大尺度上是均匀且各向同性的。这个假设是如此的自然，而且也符合我们今天的大尺度天文观测，从而被认为是宇宙学研究的基石。

可别小看这一句话，这个原理的成立使我们研究宇宙时间和空间的时候省了大事儿了。当然，严格地推导涉及到复杂的微分几何与广义相对论知识。大略上说来，每一时刻的空间均匀意味着我们宇宙四维时空中存在着均匀面族（这个“面”指的是四维时空中的三维超曲面），各向同性则意味着存在各向同性参考系，我们再加上一个非常自然的假设，也就是均匀面族是唯一的，从而可以证明各向同性参考系中任一各向同性观者的世界线与这个唯一的均匀面族正交，还可以证明任意两个均匀面之间的各向同性观者的世界线长度相同。于是，我们可以把这个一族三维超曲面构成的均匀面族称为“空间”，把各向同性观者的固有时称作“时间”，把各向同性参考系称为宇宙静系，从而一劳永逸的解决了我们宇宙的“时空 3+1”分解问题。如果没有这个基础，我们在研究宇宙的时候连怎样划分时间和空间可能都难以做到。

图 4 表示定义了全局性时间与空间的、我们所生存于其中的宇宙的某个部分。其中的蓝色带箭头的曲线表示我们宇宙中的宇宙静系各向同性观者的世界线。所谓宇宙在膨胀，指的就是这些各向同性观者在宇宙静系的空间距离随着宇宙静系的时间（也就是这些观者的固有时）在变大。

同样，所谓“宇宙膨胀的速度”，其实说的是确定的某两个各向同性观者之间的距离 s 随着宇宙静系时间 t 的变化率，相当于 图 4 中的

。

这个定义显然与我们第一部分所说的相对论中的即时速度不是一回事。

在宇宙尺度上，一个星系往往被看作一个点。由于各星系相对于宇宙各向同性观者的速度（这个速度就是前面定义的相对论即时速度，是指在世界线与星系世界线相交的宇宙各向同性观者看来星系的运动速度）与光速相比极小，所以，有时也把星系作为宇宙各向同性观者来看待。从而，某两个星系之间的距离随宇宙静系时间的变化率，也就是这两个星系在宇宙静系中相互远离的速度，也被称为“宇宙膨胀的速度”。

从 图 4 中可以定性地看出，距离越远的两个各向同性观者相互远离的速度越大，这正是宇宙整体在膨胀的必然结果。由于宇宙尺度大得惊人（目前尚不知道我们的宇宙是有限大还是无限大），因此足够远的两个星系之间相互远离的速度就会大到比光速还大。

需要注意的是，两个星系相互远离的速度不应该被称为“一个星系相对另一个星系的速度”，因为两个星系的世界线并不相交（任意两个宇宙静系各向同性观者的世界线都不会相交，否则就不能构成参考系了），从而不存在“相对某一个各向同性观者来说另一个各向同性观者的速度”的概念。
在天文学、宇宙学上，这个相互远离的速度被称为“天体间的退行速度”。

天体间的退行速度虽然可以超光速，但是对于任意观察者以任意运动状态到达宇宙中的任意星系并测量其即时速度时，得到的值都不会超过光速。“天体退行速度超光速”与“任意天体运动速度都不会超光速”同时成立，都是正确的。

根据宇宙大爆炸学说和一些天文观测的结果，在当前宇宙静系所处的时刻（不用纠结是哪一天、哪一秒，在宇宙时空尺度内，1 万年都可以算作同一个时刻），以我们银河系为中心（也不用纠结是银河系的哪一点，整个银河系就是一个点），可观测宇宙的半径为 465 亿光年，这个尺度是在宇宙静系中的空间距离。

请注意，这并不意味着距离我们 465 亿光年处的天体如今与我们之间的退行速度恰好等于光速，事实上这个退行速度远超光速。可观测宇宙的意思是说，宇宙诞生开始各天体发出的所有光中，今天还能到达地球的那部分光里面，最远的发光天体如今距离我们 465 亿光年。虽然我们能看到 465 亿光年处的天体，但是看到的是它们之前发出的光，而它们如今发出的光我们是再也看不到的。

正是因为我们所说的“宇宙膨胀的速度”并不是相对论中定义的“即时速度”，它们是不同的两类物理量，所以“不能超光速”的结论并不限制“宇宙膨胀的速度”。

2、宇宙膨胀超光速对我们的影响

宇宙膨胀超光速，或者说宇宙间许多天体与我们银河系之间的退行速度超光速，这对我们观测宇宙肯定是有影响的。因为这意味着那些天体发出来的光再也无法到达人类的眼中。

还不止是如此，由于宇宙中任何作用的传递都不可能超过光速，从而那些天体与我们之间失去了因果联系。也就是说，现今距离我们 465 亿光年以外的天体，在历史上以及以后，无论发生什么事（你可以想象成毁天灭地的任何事情），都和我们人类无关；反过来，我们在历史、现在和未来，无论怎么努力，都无法给现今距离我们 465 亿光年外的天体带来任何一点微小的影响。

由于天文观测表明我们的宇宙在加速膨胀，越膨胀越快，从而可观测宇宙目前还在不断变大。也许有朋友奇怪了，宇宙膨胀变快了，可观测宇宙应该变小啊！其实是这样的，随着宇宙加速膨胀，能够观测到的天体数量应该是逐渐变少的；但是可以观测到的距离却在增加。

比如有些遥远天体以前发出来的很多光还在路上，也许一亿年后这些光到达了地球，但这时这些天体与我们的距离已经变得更远了，这意味着我们看到了更远的天体。所以说，可观测宇宙还在变大。

至于宇宙未来如何发展，是会一直加速膨胀下去，还是会转为收缩，或者发生别的什么？目前的科学理论和观测结果都还没能让我们有确定的结论。

三、小结

为什么宇宙可以“超光速膨胀”？

一句话回答：那是因为“宇宙膨胀的速度”和相对论所说的“不能超光速”的速度不是同一种速度。

可要是真想弄明白怎么回事，那就要阅读前面的长篇大论了。

1. 密码学鬼才王♂琦提过，拿π的任意一段比较长的小数序列统计一下，就会发现各个数字出现的频率基本一样，这说明π很有可能是正规的，即 0 到 9 均匀地发布在π的各个位上。

你拿出π中的某一段数字，比如 12347，问下一个数字最可能是 0 到 9 中的哪个？结果每一个数字出现的概率都差不多。目前二进制形式的π的正规性已经被证明了，但十进制的至今还没有人能证明出来。

另外，在 1897 年，美国有个业余的数学家试图让印第安纳州议会来通过所谓的印第安纳圆周率法案，希望以法律的形式强制规定π=3.2，因为这样就能巧妙地解决化圆为方等一系列的问题！妙啊，实在是妙啊！

最终，该法案虽然通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决了。

2. 1744 年欧拉证明了 e 是无理数，1761 年 Lambert 证明了π也是无理数。又过了一百多年，法国的 Hermite 在 1873 年最终证明了 e 是超越数（即它不是任何有理系数多项式的根）。

那么，请问，e+π 是否是无理数？谁也不知道，连王琦都证明不出！

另外，百度知道写的什么玩意儿，1761 年怎么就成了 17 世纪了？按这个逻辑岂不是二十世纪才是生物的世纪？！！

——————— 啊，又写了不少 ———————

3. 完美长方体问题

是否存在一个棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体？

就是求

这一方程组的正整数解。如果有，这个由 a,b,c 构成的长方体就是一个完美长方体。

目前还没有找到任何完美长方体，也没有人证明完美长方体不存在。

4. 奇完全数存在性

有没有一个完全数是奇数呢？

当一个整数的所有真因子（即除了自身以外的约数）之和，恰好等于它本身时，我们称这个数是一个完全数。

比如说：第一个完全数是 6，它有约数 1、2、3、6，除去它本身 6 外，其余 3 个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是 28，它有约数 1、2、4、7、14、28，除去它本身 28 外，其余 5 个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。

目前我们发现的所有完全数都是偶数，那可不可能存在一个奇数也是完全数呢？不知道。

5. 孪生素数猜想

是否存在无穷多个素数 p，使得 p + 2 也是素数？

如果 p 和 p + 2 都是素数，那么他们俩称合在一起为一对孪生素数。

这个问题最重要的进展是由张益唐做出来的，他证明了存在无穷多个素数 p，使得 p + c 也是素数，其中的 c<70000000。

当然后来很多人改进了他的方法，目前已经证明了 c<=246。

遗憾的是，这个改进的作用是有限的，各种理论计算结果表明，最多最多能改进到使得 c<=6。张益唐和陶哲轩都承认了这一点。

评论区里有人说我这部分内容抄了别人的，我冷冷一笑：请问您是最近一两个月看了一个关于张益唐和南科大的高赞回答吗？没想到吧，那就是我写的。

我 抄 我 自 己 。

6. 哥德巴赫猜想

任意一个大于 2 的偶数，都能表示成两个素数之和。

众所周知，对于这个问题目前最接近的结果是陈景润做出来的，他用筛法证明了每一个大于 4 的偶数 E 都等于两个奇素数之和 A+B 或者是两个奇素数的积与和一个奇素数之和 A*B+C。（他真的不是在证明 1+2＝3 这种幼儿园算术题！）

从那以后，几十年的时间里还是没有人解决这个问题，因为筛法已经用到极致了，现在需要新的方法了。这个新方法什么时候能出现呢？也许是明天，也许是三百年以后。

7.冰雹猜想

这个猜想有很多别名，比如 3n+1 猜想、角谷猜想，它是说：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1。

如 n = 6，根据上述数式，得出序列 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

如 n = 11，根据上述数式，得出序列 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

如 n = 27，根据上述数式，得出序列

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

冰雹的最大魅力在于不可预知性。比如说这个 27，虽然是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27 要经过 77 个步骤的变换到达顶峰值，然后又经过 34 个步骤到达谷底值 1。一共有 111 步，其中的峰值 9232 是原有数字 27 的 342 倍！

一代天骄保罗·埃尔多斯就说过他要奖 500 块钱给解决这个问题的人（呃，虽然钱并不多……）， Jeffrey Lagarias 甚至在 2010 年表示：“这个问题难到逆天，现代数学甭想整出来！”

截止至 2017 年，我们一个个地算啊算，已经算到了 87 * 2^60，还是没找到例外的情况。但是这并不能证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

我不由得想到很多年前有人一辈子都在算哥德巴赫猜想，希望找到一个不能分解成两个素数之和并且比 2 大的偶数，结果到死也没找到……我估计他们都想到了欧拉。你说欧拉多幸运啊，当年他算费马数，只算了第六个费马数就发现费马的素数生成公式是错的，这要是第十个、第二十个才是错的呢？那还不知道要算多久！